Question

17．已知過原點(diǎn)的直線l₁與直線l₂：x+3y+1=0垂直，圓C的方程為x²+y²-2ax-2ay=1-2a²（a＞0），若直線l₁與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（　　）

• A． $（{\frac{{\sqrt{5}}}{2}，\frac{{\sqrt{5}}}{2}}）$
• B． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$
• D． （1，1）

Answer 1

分析 當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，CM⊥CN，圓心C到直線l₁的距離為$\frac{|3a-a|}{\sqrt{9+1}}$=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求出圓心C的坐標(biāo)．

解答 解：由題意，直線l₁的方程為3x-y=0，圓C的方程為x²+y²-2ax-2ay=1-2a²的圓心坐標(biāo)為（a，a），半徑為1，
當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，CM⊥CN，圓心C到直線l₁的距離為$\frac{|3a-a|}{\sqrt{9+1}}$=1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴圓心C的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．