Question

11．（1）設(shè)a，b，c是直角三角形的三邊長(zhǎng)，其中c為斜邊，且c≠1，求證：log_（c+b）a+log_（c-b）a=2log_（c+b）a•log_（c-b）a．
（2）已知log${\;}_{{a}_{1}}$b₁=log${\;}_{{a}_{2}}$b₂=…=log${\;}_{{a}_{n}}$b_n=λ，求證：log${\;}_{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（b₁b₂…b_n）=λ．

Answer 1

分析 （1）題意，利用對(duì)數(shù)換底公式log_（c+b）a=log_a（c+b），log_（c-b）a=log_a（c-b），證明左端=右端即可；
（2）由題意可得b₁=a₁^λ，…，b_n=a_n^λ，從而證得結(jié)合．

解答 證明：（1）由勾股定理得a²+b²=c²，即a²=c²-b²，
∴右邊=2log_（c+b）a•log_（c-b）a=$\frac{2}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{{log}_{a}{a}^{2}}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{{log}_{a}{（c}^{2}-^{2}）}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{{log}_{a}（c-b）+{log}_{a}（c+b）}{{log}_{a}（c+b）{log}_{a}（c-b）}$=$\frac{1}{{log}_{a}（c+b）}$+$\frac{1}{{log}_{a}（c-b）}$=log_（c+b）a+log_（c-b）a=左邊，
∴原等式成立；
（2）∵log${\;}_{{a}_{1}}$b₁=log${\;}_{{a}_{2}}$b₂=…=log${\;}_{{a}_{n}}$b_n=λ，
∴b₁=a₁^λ，…，b_n=a_n^λ，
∴b₁b₂…b_n=a₁^λ•…•a_n^λ=（a₁a₂a₃…a_n）^λ，
∴l(xiāng)og${\;}_{{a}_{1}{a}_{2}…{a}_{n}}$（b₁b₂…b_n）=λ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)換底公與對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，考查正向思維與逆向思維的綜合應(yīng)用，考查推理證明與運(yùn)算能力，屬于中檔題