【題目】已知函數(shù)為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(1)求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),證明
時(shí),
.
【答案】(1) ;函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
;(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(1)由題得,根據(jù)曲線
在點(diǎn)
處的切線方程,列出方程組,求得
的值,得到
的解析式,即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由(1)得 根據(jù)由
,整理得
,
設(shè),轉(zhuǎn)化為函數(shù)
的最值,即可作出證明.
試題解析:
(1)由題得,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,
,
因?yàn)榍在點(diǎn)
處的切線方程為
,
所以解得
.
令,得
,
當(dāng)時(shí),
,
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),
,
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
(2)由(1)得, .
由,得
,即
.
要證,需證
,即證
,
設(shè),則要證
,等價(jià)于證:
.
令,則
,
∴在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,
,
即,故
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱臺(tái)中,底面是正方形,且
,點(diǎn)
,
分別為棱
,
的中點(diǎn),二面角
的平面角大小為
.
(1)證明:;
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別為橢圓
的左、右焦點(diǎn),
為該橢圓的一條垂直于
軸的動(dòng)弦,直線
與
軸交于點(diǎn)
,直線
與直線
的交點(diǎn)為
.
(1)證明:點(diǎn)恒在橢圓
上.
(2)設(shè)直線與橢圓
只有一個(gè)公共點(diǎn)
,直線
與直線
相交于點(diǎn)
,在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)
,使得
恒成立?若存在,求出該點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位.已知圓
的方程為
,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù),
為直線
的傾斜角).
(1)寫出圓的極坐標(biāo)方程和直線
的普通方程;
(2)若為圓
上任意一點(diǎn),求點(diǎn)
到直線
的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,直線AF與直線
垂直,垂足為B,且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn),直線MP與直線 交于點(diǎn)Q,且
,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
為拋物線
上的兩個(gè)不重合的動(dòng)點(diǎn),且
,
滿足
,
.
(1)證明:線段的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn);
(2)若線段的垂直平分線與
軸交于點(diǎn)
,求
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在
上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:對(duì)任意
,函數(shù)
的圖象均在
軸上方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù),且
的極小值為
.
(Ⅰ)求和
的值;
(Ⅱ)若過點(diǎn)可作三條不同的直線與曲線
相切,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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