Question

10．已知動點P（x，y）到直線$l：x=2\sqrt{2}$的距離是它到點$F（\sqrt{2}，0）$的距離的$\sqrt{2}$倍．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）若直線y=k（x-1）與軌跡C交于不同的兩點M，N．A（2，0），當△AMN的面積為$\frac{\sqrt{10}}{3}$時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求動點P的軌跡C的方程；
（2）聯(lián)立y=k（x-1）與橢圓C，利用弦長公式，表示出△AMN面積，化簡求解即可．

解答 解：（1）由題意，|2$\sqrt{2}$-x|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$
化簡可得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，∴動點P的軌跡C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直線y=k（x-1）與橢圓方程聯(lián)立，可得：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，┅┅┅┅┅┅┅（8分），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{（1+{k}^{2}）（4+6{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
∵A（2，0）到直線y=k（x-1）的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AMN的面積=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{|k|\sqrt{4+6{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，∴k=±1．┅┅┅┅┅┅┅（12分），

點評 本題考查軌跡的方程的求法，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．