Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=-f（x），x＞1時f（x）單調(diào)遞增，如果x₁＜x₂，x₁+x₂＜2，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值（　　）

A．恒小于0

B．恒大于0

C．可能為0

D．可正可負

Answer 1

分析：由f（2-x）=-f（x），知函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）對稱且f（1）=0，由當(dāng)x＞1時，f（x）單調(diào)遞增，知當(dāng)x＜1時，f（x）單調(diào)遞增，由此能求推導(dǎo)出f（x₁）+f（x₂）＜0．

解答：解：∵f（2-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，0）對稱
令x=1，得f（1）=-f（1），則f（1）=0，
∵當(dāng)x＞1時，f（x）單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＜1時，f（x）單調(diào)遞增，
∵x₁+x₂＜2，且（x₁-1）（x₂-1）＜0，
∴設(shè)x₁＜x₂，則x₁＜1＜x₂，
f（x₁）=-f（2-x₁），x₂＜2-x₁，
∵x＞1，f（x）是增函數(shù)，
∴f（x₂）＜f（2-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₁）+f（x₂）＜0．
故選：A．

點評：本題考查函數(shù)值的應(yīng)用，解題時要認真審題，注意函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的合理運用，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．