在△ABC中,過(guò)中線AD的中點(diǎn)E任作一條直線分別交AB,AC于M,N兩點(diǎn),若
AM
=x
AB
,
AN
=y
AC
,則4x+y的最小值為( 。
A、
7
4
B、
5
3
C、
9
5
D、
9
4
考點(diǎn):平面向量的基本定理及其意義,向量在幾何中的應(yīng)用
專題:平面向量及應(yīng)用
分析:根據(jù)向量的加法及條件,結(jié)合M,E,N三點(diǎn)共線,解出x,y的方程,然后利用“1”的代換,化簡(jiǎn)4x+y,利用基本不等式,求表達(dá)式的最小值即可.
解答: 解:∵
AD
=
1
2
AB
+
AC
),且E為AD中點(diǎn),∴
AE
=
1
2
AD
=
1
4
AB
+
AC
).
AM
=x
AB
AN
=y
AC
(x>0,y>0),
AB
=
1
x
AM
,
AC
=
1
y
AN

因此
AE
=
1
4
1
x
AM
+
1
y
AN
),
又M,E,N三點(diǎn)共線,
1
4x
+
1
4y
=1,(x>0,y>0).
于是4x+y(4x+y)=1+
1
4
+
y
4x
+
x
y
≥1+
1
4
+1=
9
4
點(diǎn)評(píng):考查向量的加法運(yùn)算,共線及共面向量基本定理,基本不等式這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn).求解本題的另一個(gè)關(guān)鍵基本不等式求解表達(dá)式的最小值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)P(x0,y0)(其中x0在x1與x2之間),使得點(diǎn)P處的切線l平行于直線AB,則稱AB存在“伴隨切線”,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱AB存在“中值伴隨切線”.試判斷函數(shù)f(x)的圖象上是否存在“中值伴隨切線”,若存在,請(qǐng)求出“中值伴隨切線”.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是Ac,AB上的點(diǎn),且DE∥BC,DE=2,將△ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1C⊥CD,如圖2.
(1)求證:A1C⊥平面BCDE;
(2)求棱錐A1-CBED的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某幾何體的三視圖如圖所示(網(wǎng)格中的小正方形邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的表面積為(  )
A、6+2
3
B、4+4
2
C、2+4
2
+2
3
D、4+2
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線l:ax+by=0的距離為2
2
,則直線l的斜率的取值范圍為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ax3+
a2-3
2
x2-ax+2,a∈R.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x-4y+8=0垂直,求a的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1則該三棱柱的體積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=ex-2x,g(x)=x2+m(m∈R),若對(duì)于函數(shù)y=f(x)中的任意實(shí)數(shù)x,在y=g(x)上總存在實(shí)數(shù)x0,使得g(x0)<f(x)成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

3個(gè)班分別從5個(gè)風(fēng)景點(diǎn)處選擇一處游覽,不同的選法種數(shù)是( 。
A、53
B、35
C、A53
D、C53

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同步練習(xí)冊(cè)答案