Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+

a2-3

2

x²-ax+2，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-4y+8=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)f′（x），得到f′（1）=-4，從而求出a=-1．（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而得到函數(shù)的單調區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+（a²-3）x-a．
因為曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x-4y+8=0垂直，
所以f′（1）=-4，即f′（1）=a²+2a-3=-4，解得a=-1．
（Ⅱ）f（x）的定義域為R，f′（x）=（ax-1）（3x+a）．
（1）當a=0時，f′（x）=-3x．令f′（x）=0，得x=0．
當x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑		↓

所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），減區(qū)間為（0，+∞）．
（2）當a≠0時，令f′（x）=0，得x=

1

a

或x=-

a

3

．
①當a＞0時，

1

a

＞0，-

a

3

＜0，所以-

a

3

＜

1

a

．
當x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑		↓		↑

所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，-

a

3

），（

1

a

，+∞），減區(qū)間為（-

a

3

，

1

a

），
②當a＜0時，

1

a

＜0，-

a

3

＞0，所以-

a

3

＞

1

a

．
當x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 1 a ）	1 a	（ 1 a ，- a 3 ）	- a 3	（- a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓		↑		↓

所以f（x）的增區(qū)間為（

1

a

，-

a

3

），減區(qū)間為（-∞，

1

a

）和（-

a

3

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性，考查了導數(shù)的應用，考查分類討論思想，是一道中檔題．