【題目】如圖,已知點(diǎn),點(diǎn)均在圓上,且,過(guò)點(diǎn)的平行線分別交,兩點(diǎn).

1)求點(diǎn)的軌跡方程;

2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn).問(wèn)是否存在常數(shù),使得點(diǎn)為定值?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1;(2)存在常數(shù)符合題意,理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

1)由平面幾何的相關(guān)性質(zhì)可得,則,即點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,再求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可;

2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,消元列出韋達(dá)定理,則代入計(jì)算可得的值,再計(jì)算斜率不存在時(shí)的值,即可得解;

解:(1)由,得

,得,所以.

,知,

所以,即,

所以

所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.

這里,,所以,

則點(diǎn)的軌跡方程為:.

2)當(dāng)直線軸不垂直時(shí),設(shè),,

聯(lián)立,

其判別式,

所以,

,

所以當(dāng)時(shí),,

此時(shí)為定值.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),.

綜上,存在常數(shù),使得為定值img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/11/26/22/0c62e4d8/SYS202011262207475451781454_DA/SYS202011262207475451781454_DA.037.png" width="22" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />.

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A.B.C.D.

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