Question

關(guān)于曲線C：

x2

4

+y4=1，給出下列四個結(jié)論：
①曲線C是橢圓；              
②關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱；
③關(guān)于直線y=x軸對稱；      
④所圍成封閉圖形面積小于8．
則其中正確結(jié)論的序號是

 

．（注：把你認(rèn)為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①根據(jù)橢圓的方程判斷曲線C：

x2

4

+y4=1不是橢圓；
②把曲線C中的（x，y ）同時換成（-x，-y ），判斷曲線C是否關(guān)于原點對稱；
③把曲線C中的（x，y ）同時換成（y，x ），判斷曲線C是否關(guān)于直線y=x對稱；
④根據(jù)|x|≤2，|y|≤1，判斷曲線C：

x2

4

+y4=1所圍成的封閉面積是否小于8．

解答： 解：對于①，∵曲線C：

x2

4

+y4=1，不是橢圓方程，∴曲線C不是橢圓，∴①錯誤；
對于②，把曲線C中的（x，y ）同時換成（-x，-y ），方程不變，∴曲線C關(guān)于原點對稱，②正確；
對于③，把曲線C中的（x，y ）同時換成（y，x ），方程變?yōu)?span id="ekkuc2k" class="MathJye">

y2

4

+x⁴=1，∴曲線C不關(guān)于直線y=x對稱，③錯誤；
對于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲線C：

x2

4

+y4=1所圍成的封閉面積小于4×2=8，∴④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查了方程所表示的曲線以及曲線的對稱性問題，解題時應(yīng)結(jié)合圓錐曲線的定義域性質(zhì)進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．