Question

（普通文科做）如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁分別是棱AD，AA₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．求：
（1）點(diǎn)D到平面EE₁C的距離；
（2）求三棱錐E₁-FCC₁的體積

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)D到平面EE₁C的距離．
（2）由題意得CC₁⊥CF，CC₁=CF=2，從而S△CC1F=

1

2

×2×2=2，E₁到平面FCC₁的距離h=

| E1C • m |

| m |

=

| 3 |

1

=

3

，由此能求出三棱錐E₁-FCC₁的體積．

解答： 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸，
DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得D（0，0，0），E（1，0，0），
E₁（2，0，1），C（-1，

3

，0），

EE1

=（1，0，1），

EC

=（-2，

3

，0），
設(shè)平面EE₁C的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • EE1 =x+z=0 n • EC =-2x+ 3 y=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，2，-

3

），

DE

=（1，0，0），
∴點(diǎn)D到平面EE₁C的距離：
d=

| DE • n |

| n |

=

3

4+3

=

21

7

．
（2）由題意得CC₁⊥CF，CC₁=CF=2，
∴S△CC1F=

1

2

×2×2=2，
∵平面CC₁F∥平面DAA₁D₁，
∴平面CC₁F的法向量

m

=（0，1，0），
∵

E1C

=（-3，

3

，-1），
∴E₁到平面FCC₁的距離h=

| E1C • m |

| m |

=

| 3 |

1

=

3

，
∴三棱錐E₁-FCC₁的體積V=

1

3

S△CC1F•h=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．