Question

設函數(shù)f_n（x）=x-

x2

2

+

x3

3

-…+

(-1)n+1xn

n

-ln（1+x），n∈N^*．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f_n（x）在（0，1）內的單調性，并說明理由；
（Ⅱ）求最大的整數(shù)α，使得|f_n（x）|＜

1

nα

對所有的n∈N^*及x∈（0，1）都成立．（注：ln2≈0.6931．）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)與函數(shù)單調性的關系判斷；
（2）利用（1）的結論，對n的奇偶性進行討論并利用不等式性質進行放縮．

解答： 解：（I）函數(shù)f_n（x）的導數(shù)fn′(x)=1-x+x2-…+(-1)n+1xn-1-

1

1+x

…（2分）
=

1-(-1)n+1xn-1•(-x)

1-(-x)

-

1

1+x

=

(-1)n+1xn

1+x

，…（4分）
故在（0，1）內，當n為奇數(shù)時，fn′(x)=

xn

1+x

＞0，則函數(shù)f_n（x）在（0，1）內單調遞增；
當n為偶數(shù)時，fn′(x)=-

xn

1+x

＜0，則函數(shù)f_n（x）在（0，1）內單調遞減．…（6分）
（II）注意到對任意n∈N^*，f_n（0）=0，…（7分）
由（I），對任意x∈（0，1），
當n為奇數(shù)時，f_n（x）＞0；當n為偶數(shù)時，f_n（x）＜0．…（8分）
故當n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，fn+1(x)=fn(x)-

xn+1

n+1

＜0，即fn(x)＜

xn+1

n+1

，
而f_n（x）＞0，故|fn(x)|＜

xn+1

n+1

；                           …（10分）
同理，當n為偶數(shù)時，仍有|fn(x)|＜

xn+1

n+1

．
所以對任意n∈N^*及x∈（0，1），都有|fn(x)|＜

xn+1

n+1

．…（12分）
又x∈（0，1），故

xn+1

n+1

＜

1

n+1

，即|fn(x)|＜

1

n+1

＜

1

n

．
因此α=1能夠使得|fn(x)|＜

1

nα

對所有的n∈N^*及x∈（0，1）都成立．…（14分）
再注意到|f3(1)|=

5

6

-ln2＞

1

32

，故當x充分接近1時，必有|f3(x)|＞

1

32

，
這表明α≥2不能使得|fn(x)|＜

1

nα

對所有的n∈N^*及x∈（0，1）都成立．
所以α=1為滿足要求的最大整數(shù)．…（15分）

點評：考查利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法以及恒成立問題的轉化思想等綜合運用能力，屬難題．