Question

7．直線y=kx+1和雙曲線3x²-y²=1相交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)k為何值時(shí)，以弦AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)．

Answer 1

分析 把直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立可得△＞0，解出k的范圍．利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由于直線與雙曲線相交，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{k}^{2}≠0}\\{△=4{k}^{2}+8（3-{k}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，∴k²＜6且k²≠3．
∴k的取值范圍為-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$．
由韋達(dá)定理，得x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，①x1x2=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，②
∵以AB為直徑的圓恰好過坐標(biāo)系的原點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，整理得（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0③
將①②代入③，并化簡得$\frac{1-{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$=0，∴k=±1，
經(jīng)檢驗(yàn)，k=±1滿足題目條件，
故存在實(shí)數(shù)k滿足題目條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與雙曲線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、圓的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．