Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，OE交AD于點(diǎn)F．若

AC

AB

=

3

5

，
（Ⅰ）求證：OD∥AE；
（Ⅱ）求

AF

FD

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）連接OD，BC，設(shè)BC交OD于點(diǎn)M，則∠OAD=∠ODA，從而∠ODA=∠DAE，由此能證明OD∥AE．
（Ⅱ）由已知得四邊形CMDE為平行四邊形，從而CE=MD，由

AC

AB

=

3

5

，設(shè)AC=3x，AB=5x，則OM=

3

2

x，MD=x，從而AE=AC+CE=4x，由此能求出

AF

FD

的值．

解答： （Ⅰ）證明：連接OD，BC，設(shè)BC交OD于點(diǎn)M．
因?yàn)镺A=OD，所以∠OAD=∠ODA，（2分）
又因?yàn)椤螼AD=∠DAE，所以∠ODA=∠DAE，
所以O(shè)D∥AE．（4分）
（Ⅱ）解：因?yàn)锳C⊥BC，且DE⊥AC，所以BC∥DE．
所以四邊形CMDE為平行四邊形，所以CE=MD，（6分）
由

AC

AB

=

3

5

，設(shè)AC=3x，AB=5x，則OM=

3

2

x，
又OD=

5

2

x，所以MD=

5

2

x-

3

2

x=x，
所以AE=AC+CE=4x，
因?yàn)镺D∥AE，所以

AF

FD

=

AE

OD

=

4x

5 2 x

=

8

5

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與直線平行的證明，考查兩線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．