Question

已知x滿足不等式(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0．求函數(shù)f(x)=(log2

x

4

)(log2

x

2

)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由條件求得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，故有-2≤log₂x≤-

1

3

．令t=log₂x，則-2≤t≤-

1

3

，函數(shù)f（x）即g（t）=（t-1）（t-2）=(t-

3

2

)2-

1

4

，再根據(jù)g（t）在[-2，-

1

3

]上為減函數(shù)，求得g（t）的最值．

解答：解：由不等式(2log

1

2

x+1)(log

1

2

x+3)≤0，可得-3≤log

1

2

x≤-

1

2

，
故有-2≤log₂x≤-

1

3

．
令t=log₂x，則-2≤t≤-

1

3

，
函數(shù)f(x)=(log2

x

4

)(log2

x

2

)=（log₂x-2）（log₂x-1）
=(log2x)2-3log₂x+2=g（t）=（t-1）（t-2）=(t-

3

2

)2-

1

4

，
故g（t）在[-2，-

1

3

]上為減函數(shù)，故當(dāng) t=-2時(shí)，g（t）取得最大值為12，
當(dāng)t=-

1

3

時(shí)，g（t）取得最小值為

28

9

．

點(diǎn)評：本題主要一元二次不等式的解法，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了換元、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．