Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，且在時(shí)有極大值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，分，，，進(jìn)行討論，可得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）將代入，對(duì)求導(dǎo)，可得，再對(duì)求導(dǎo)，可得函數(shù)有唯一極大值點(diǎn)，且.

可得,設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)后可得.

解：（1），

又，，時(shí)，，所以可解得：函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

經(jīng)計(jì)算可得，時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減.

綜上：時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減；

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減；

時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.

（2）若，則，

，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.

又因?yàn)?/span>由可知：，

而，且，

，使得，且時(shí)，單調(diào)遞增，

時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有唯一極大值點(diǎn)，

且.

.

所以,

設(shè)（），則，

在單調(diào)遞增，，，又因?yàn)?/span>，

.