Question

已知圓C：x²+y²-6mx-2（m-1）y+10m²-2m-24=0，直線l：x-3y-3=0，m∈R，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ） 求證：任何一條與直線?平行且與圓C相交的直線被圓C截得的弦長與m無關(guān)；
（Ⅱ） 當(dāng)m=-1時(shí)，圓C與垂直于直線?的一直線l₁交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l₁的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出與直線?平行的直線的方程：x-3y+n=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到此直線的距離整理后發(fā)現(xiàn)不含有參數(shù)m故可得結(jié)論．
（Ⅱ）由題意設(shè)出設(shè)直線l₁：y=-3x+b，與圓的方程：（x+3）²+（y+2）²=25聯(lián)立，求得兩根之和與兩根之積，代入x₁x₂+y₁y₂=0即可得到關(guān)于參數(shù)b的方程，求出其值即可得直線l₁的方程
解答：解：（Ⅰ）證明：圓C：（x-3m）²+（y-（m-1））²=25，圓心為（3m，（m-1）），r=5
設(shè)直線
弦長=與m無關(guān)
（Ⅱ）圓：（x+3）²+（y+2）²=25，設(shè)直線y=-3x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得：
=∵OA⊥OB∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴b²+11b-60=0∴b=-15或b=4∴y=-3x-15或y=-3x+4
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，求解的重點(diǎn)是設(shè)出直線的方程根據(jù)所給的關(guān)系建立方程求參數(shù)，此題由幾何位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求參數(shù)，此是解析幾何的一大重要特征．本題運(yùn)算較繁瑣，容易出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)，以防出錯(cuò)．