Question

四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1．E為BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；
（2）在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？
（3）若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

∵M(jìn)D⊥平面ABCD，則MD⊥DA，MD⊥DC，
又∵底面ABCD為正方形，∴DA⊥DC，
故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
則各點(diǎn)的坐標(biāo)D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E，（

1

2

，1，0），M（0，0，1），N（1，1，1），

（1）∴

NE

=（-

1

2

，0，-1），

AM

=（-1，0，1）
設(shè)異面直線NE與AM所成角為θ
則cosθ=|

NE • AM

| NE |•| AM |

|=

1 2

5 2 • 2

=

10

10

故異面直線NE與AM所成角的余弦值為

10

10

（2）由正方體的幾何特征，我們易得PC⊥平面AMN
連接PB，交AN與S，連接SE，則易得S為PB的中點(diǎn)，又由E為BC的中點(diǎn)
則SE∥PC
∴ES⊥平面AMN
即線段AN上存在一點(diǎn)S為AN的中點(diǎn)，滿足ES⊥平面AMN
（3）由（2）得，S的坐標(biāo)為（1，

1

2

，

1

2

）
則線段AS的長(zhǎng)d=

1

2

AN=

2

2