如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點(diǎn),點(diǎn)Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求出a1,a2,a3,并猜想an關(guān)于n的表達(dá)式(不需證明);
(Ⅱ)設(shè)bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,若對任意的正整數(shù)n,當(dāng)m∈[-1,1]時,不等式t2-2mt+
1
6
bn
恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
精英家教網(wǎng)
分析:(Ⅰ)由點(diǎn)A1(a1,0)得到等邊三角形的邊長為a1根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得P1的坐標(biāo)為(
a1
2
,
3
a1
2
)代入到y(tǒng)2=3x中求出即可得到a1,然后同理求出a2和a3,然后猜想an=n(n+1)(n∈N*);
(Ⅱ)把猜想的通項(xiàng)公式代入到bn中化簡得到通項(xiàng)公式,利用bn+1-bn得到小于0,所以數(shù)列為遞減數(shù)列,所以當(dāng)m∈[-1,1]時,不等式t2-2mt+
1
6
bn
恒成立只需要求出bn的最大值,即可求出t的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ)由點(diǎn)A1(a1,0)得到第一個等邊三角形的邊長為a1,
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得P1的坐標(biāo)為(
a1
2
,
3
a1
2

代入到y(tǒng)2=3x中
3
4
a12=
3
2
a1,解得a1=2;
又因?yàn)辄c(diǎn)A2(a2,0),所以得第二個等邊三角形的邊長為a2-2,
則P2的坐標(biāo)為(
a2-2
2
,
3
(a2-2)
2
)代入到y(tǒng)2=3x中解得a2=6;
因?yàn)锳3(a3,0),所以第三個等邊三角形的邊長為a3-6,
則P3的坐標(biāo)為(
a3-6
2
3
(a3-6)
2
)代入到y(tǒng)2=3x中解得a3=12.
所以a1=2,a2=6,a3=12;
猜想:an=n(n+1)(n∈N*).

(Ⅱ)bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
++
1
a2n

=
1
(n+1)(n+2)
+
1
(n+2)(n+3)
++
1
2n(2n+1)

=
1
n+1
-
1
2n+1
=
n
2n2+3n+1
=
1
(2n+
1
n
)+3

bn+1-bn=
-(2n2+2n-1)
(2n2+7n+6)(2n2+3n+1)
<0(n∈
N*
即bn+1<bn,所以數(shù)列{bn}是遞減數(shù)列.
所以,當(dāng)n=1時,(bn)max=
1
6

t2-2mt+
1
6
bn
(?n∈N*,?m∈[-1,1])?t2-2mt+
1
6
>(bn)max=
1
6
,
即t2-2mt>0(?m∈[-1,1])?
t2-2t>0 
t2+2t>0 •

解之得,實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-∞,-2)∪(2,+∞).
點(diǎn)評:考查學(xué)生會根據(jù)數(shù)列的遞推式判斷數(shù)列是增數(shù)列還是減數(shù)列,理解函數(shù)恒成立時所取的條件,還考查學(xué)生歸納總結(jié),作出猜想的能力.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點(diǎn),點(diǎn)Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)寫出a1,a2,a3;
(2)求出點(diǎn)An(an,0)(n∈N*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式;并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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;猜想an關(guān)于n的表達(dá)式為
 

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(1)寫出a1,a2,a3;
(2)求出點(diǎn)An(an,0)(n∈N*)的橫坐標(biāo)an關(guān)于n的表達(dá)式;
(3)設(shè)bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,若對任意的正整數(shù)n,當(dāng)m∈[-1,1]時,不等式t2-2mt+
1
6
bn
恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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如圖,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、…、Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn) 是曲線C:y2=3x(y≥0)上的n個點(diǎn),點(diǎn)Ai(ai,0)(i=1,2,3,…n)在x軸的正半軸上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求a1、a2、a3的值;
(2)求出點(diǎn)An(an,0)(n∈N+)的橫坐標(biāo)an和點(diǎn)An-1(an-1,0)(n>0,n∈N+)橫坐標(biāo)an-1的關(guān)系式;
(3)根據(jù)(1)的結(jié)論猜想an關(guān)于n的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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(2012•閘北區(qū)二模)如圖,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…是曲線C:y2=
1
2
x(y≥0)
上的點(diǎn),A1(a1,0),A2(a2,0),…,An(an,0),…是x軸正半軸上的點(diǎn),且△A0A1P1,△A1A2P2,…,△An-1AnPn,…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形(A0為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)寫出an-1、an和xn之間的等量關(guān)系,以及an-1、an和yn之間的等量關(guān)系;
(2)猜測并證明數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
,集合B={b1,b2,b3,…,bn,…},A={x|x2-2ax+a2-1<0,x∈R},若A∩B=∅,求實(shí)常數(shù)a的取值范圍.

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