Question

已知拋物線方程為y²=4x，過點(diǎn)A（1，2）作拋物線的弦AP、AQ．若AP⊥AQ，則點(diǎn)O到直線PQ距離的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用AP⊥AQ，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明直線PQ過定點(diǎn)，并可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，再由當(dāng)OC垂直于直線PQ時(shí)，點(diǎn)O到直線PQ距離取得最大值，求出即可．

解答： 解：設(shè)直線PQ的方程為x=my+n，
點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將直線方程代入拋物線方程，消x得y²-4my-4n=0，
由△＞0，得m²+n＞0，y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4n，
∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，
∴（y₁-2）（y₂-2）=0或（y₁+2）（y₂+2）+16=0．
∴n=2m-1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5，
∴直線PQ的方程為x-5=m（y+2），
∴直線PQ過定點(diǎn)C（5，-2），
當(dāng)OC垂直于直線PQ時(shí)，點(diǎn)O到直線PQ距離取得最大值，且為

52+22

=

29

．
故答案為：

29

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．解決的巧妙之處在于直線方程的設(shè)法．當(dāng)直線的斜率不確定存在時(shí)，為避免討論，常設(shè)直線方程為x=my+n的形式，同時(shí)考查點(diǎn)到直線的距離的最值的求法，屬于中檔題．