Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐中，，，點在上，且.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得平面.

Answer 1

解：（Ⅰ）正方形邊長為1，，，

所以，即，，

因為，

所以平面.                                  ………………4分

（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點，直線，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，.

由（Ⅰ）知為平面的法向量，

，

設(shè)平面的法向量為，

由，，

得

令，則，，

所以，                                  

所以，

即所求二面角的余弦值為.                             

（Ⅲ）設(shè)，則，

，

若平面，則，即，，

解得，                                              

所以存在滿足題意的點，

當(dāng)是棱的中點時，平面.