Question

13．如圖所示的多面體ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，AD=2$\sqrt{3}$，AC=CD=DE=2AB=2，BC=$\sqrt{5}$，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面體ABCDE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CE的中點(diǎn)P，連接FP，BP．證明ABPF為平行四邊形，推出AF∥BP．然后證明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)O，連接CO，EO，證明CO⊥平面ABED于點(diǎn)O，|CO|為點(diǎn)C到平面ABED的距離，且|CO|，求出底面面積與高，即可求解幾何體的體積．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，取CE的中點(diǎn)P，連接FP，BP．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴FP∥DE，且PF=$\frac{1}{2}$DE．
又AB∥DE，且AB=$\frac{1}{2}$DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF為平行四邊形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）解：∵AC=2AB=2，BC=$\sqrt{5}$，
∴BC²=AB²+AC²，∴AB⊥AC．
∵AB?平面ABED，∴平面ABED⊥平面ACD于AD．
如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接CO，EO，
∵在△ACD中，AC=CD=2，∴CO⊥AD，
∴CO⊥平面ABED于點(diǎn)O，
即|CO|為點(diǎn)C到平面ABED的距離，且|CO|=1．
又${S}_{ABED}=\frac{1}{2}×（1+2）×2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
故多面體ABCDE的體積為$\frac{1}{3}{S}_{ABED}•|CO|$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．