Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)P（2，$\sqrt{2}$），離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，直線l的漸近線為x=4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)D的任一直線（不經(jīng)過點(diǎn)P）與橢圓交于兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線l相交于點(diǎn)M，記PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問是否存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求出λ的值若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)$P（2，\sqrt{2}）$在橢圓上，橢圓的離心率，求解a，b，得到橢圓方程．
（2）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃．設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2），代入橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，結(jié)合A、F、B共線，通過k=k_AF=k_BF，求出k₁+k₂，然后推出k₁+k₂=2k₃．即可．

解答 解：（1）由點(diǎn)$P（2，\sqrt{2}）$在橢圓上得，$\frac{4}{a^2}+\frac{2}{b^2}=1$①$又e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，所以\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$②
由 ①②得c²=4，a²=8，b²=4，故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$…..（4分）
（2）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃．
由題意可設(shè)AB的斜率為k，則直線AB的方程為y=k（x-2）③
代入橢圓方程$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$并整理得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$④…（6分）
在方程③中，令x=4得，M（4，2k），從而${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-\sqrt{2}}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-\sqrt{2}}{{x}_{2}-2}$，${k_3}=\frac{{2k-\sqrt{2}}}{4-2}=k-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又因?yàn)锳、F、B共線，則有k=k_AF=k_BF，
即有$\frac{y_1}{{{x_1}-2}}=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}=k$…（8分）
所以k₁+k₂=$\frac{{{y_1}-\sqrt{2}}}{{{x_1}-2}}+\frac{{{y_2}-\sqrt{2}}}{{{x_2}-2}}$=$\frac{y_1}{{{x_1}-2}}+\frac{y_2}{{{x_2}-2}}-\sqrt{2}（\frac{1}{{{x_1}-2}}+\frac{1}{{{x_2}-2}}）$
=$2k-\sqrt{2}•$$\frac{{{x_1}+{x_2}-4}}{{{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）+4}}$⑤…（10分）
將④代入⑤得k₁+k₂=$2k-\sqrt{2}•$$\frac{{\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-4}}{{\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}-2•\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+4}}=2k-\sqrt{2}$，又${k_3}=k-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以k₁+k₂=2k₃．故存在常數(shù)λ=2符合題意…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．