Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0）的一系列對(duì)應(yīng)值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)f（x）的一個(gè)解析式．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)y=f（kx）（k＞0）周期為

2π

3

，當(dāng)x∈[0，

π

3

]時(shí)，方程f（kx）=m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)，求出周期T，解出ω，利用最小值、最大值求出A、B，結(jié)合周期求出φ，可求函數(shù)f（x）的一個(gè)解析式．
（2）函數(shù)y=f（kx）（k＞0）周期為

2π

3

，求出k，x∈[0，

π

3

]，推出3x-

π

3

的范圍，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合容易求出m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）的最小正周期為T，得T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，
由T=

2π

ω

，得ω=1，
又

B+A=3 B-A=-1

，解得

A=2 B=1

令ω•

5π

6

+φ=

π

2

，即

5π

6

+φ=

π

2

，解得φ=-

π

3

，
∴f(x)=2sin(x-

π

3

)+1．
（2）∵函數(shù)y=f(kx)=2sin(kx-

π

3

)+1的周期為

2π

3

，
又k＞0，∴k=3，
令t=3x-

π

3

，∵x∈[0，

π

3

]，∴t∈[-

π

3

，

2π

3

]，
如圖，sint=s在[-

π

3

，

2π

3

]上有兩個(gè)不同的解，則s∈[

3

2

，1)，
∴方程f（kx）=m在x∈[0，

π

3

]時(shí)恰好有兩個(gè)不同的解，則m∈[

3

+1，3)，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[

3

+1，3)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查作圖能力，是基礎(chǔ)題．