Question

16．在平面直角坐標系xOy中，將函數(shù)y=$\sqrt{3+2x-{x}^{2}}$-$\sqrt{3}$（x∈[0，2]）的圖象繞坐標原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ，若?θ∈[0，a]，旋轉(zhuǎn)后所得的曲線都是某個函數(shù)的圖象，則a的最大值為60°．

Answer 1

分析 確定函數(shù)在x=0處，函數(shù)圖象的切線斜率，可得傾斜角，從而可得結(jié)論．

解答 解：由題意，函數(shù)圖象如圖所示，函數(shù)在[0，1]上為增函數(shù)，在[1，2]上為減函數(shù)．
設函數(shù)在x=0處，切線斜率為k，則k=f'（0）
∵f'（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{-2（x-1）}{\sqrt{3+2x-{x}^{2}}}$，
∴k=f'（0）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得切線的傾斜角為30°，
因此，要使旋轉(zhuǎn)后的圖象仍為一個函數(shù)的圖象，旋轉(zhuǎn)θ后的切線傾斜角最多為90°，也就是說，最大旋轉(zhuǎn)角為90°-30°=60°，即θ的最大值為60°．
故答案為：60°

點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的圖象與圖象變化等知識點，將函數(shù)圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ后，所得曲線仍是一個函數(shù)的圖象，求角θ的最大值，屬于中檔題．