Question

7．已知橢圓4x²+y²=1及l(fā)：y=x+m．
（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與橢圓有公共點(diǎn)？
（2）若直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)為$\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）把直線y=x+m代入4x²+y²=1得5x²+2mx+m²-1=0，利用△≥0，即可得出．
（2）設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得弦長(zhǎng)，就看得出．

解答 解：（1）把直線y=x+m代入4x²+y²=1得5x²+2mx+m²-1=0，①
∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0，$-\frac{{\sqrt{5}}}{2}≤m≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
（2）設(shè)直線與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
由①得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{2m}{5}\\{x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-1}}{5}\end{array}\right.$，
∴${（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}={（-\frac{2m}{5}）^2}-\frac{{4（{m^2}-1）}}{5}=\frac{{-16{m^2}+20}}{25}$，
∴$|AB|=\sqrt{{{（1+k）}^2}[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{2×\frac{{-16{m^2}+20}}{25}}=\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
解得$m=±\frac{1}{2}$．
∴所求直線方程為$y=x±\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．