Question

18．從雙曲線C：b²x²-a²y²=a²b²（a＞0，b＞0）的左焦點F₁引圓x²+y²=a²的切線為T，且l交雙曲線的右支于點P，若點T是線段F₁P的中點，則雙曲線C的漸近線方程為2x±y=0．

Answer 1

分析 由已知可得：丨OT丨=a，設(shè)雙曲線的右焦點為F′，由T為線段FP的中點，知|PF′|=2a，|PF|=2b，由雙曲線的定義知：2b-2a=2a，由此能求出雙曲$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$的漸近線方程．

解答 解：∵過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x²+y²=a²的切線，切點為T，
∴丨OT丨=a，
設(shè)雙曲線的右焦點為F′，
∵T為線段FP的中點，
∴|PF′|=2a，|PF|=2b，
由雙曲線的定義知：2b-2a=2a，
∴b=2a．
∴雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程為bx±ay=0，
即2ax±ay=0，
∴2x±y=0．
故答案為：2x±y=0．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．