Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f(1)=

1

2

，對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），則f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=（　�。�

• A．1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．-1

Answer 1

分析：對恒等式進行賦值，令y=1，結(jié)合f(1)=

1

2

，則有f（x+1）+f（x-1）=f（x），再進行賦值化簡，即可確定函數(shù)f（x）的周期為6，進而運用周期進行計算，然后用賦值法求出相應(yīng)函數(shù)值，即可得到答案．

解答：解：∵任意實數(shù)x，y都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
∴令y=1，則有f（x+1）+f（x-1）=2f（x）f（1），
又∵f（1）=

1

2

，則f（x+1）+f（x-1）=f（x），①
將x代換為x+1，則有f（x+2）+f（x）=f（x+1），②
①+②，可得f（x+2）=-f（x-1），
將x代換為x+1，則有f（x+3）=-f（x），
再將x代換為x+3，則有f（x+6）=f（x），
∴f（x）為周期函數(shù)，周期為6，
∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=[f（1）+f（4）]+[f（2）+f（5）]+[f（3）+f（6）]=0
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）
=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）]+f（1）+f（2）+f（3）
=0+f（1）+f（2）+f（3）
=f（1）+f（2）+f（3），
∵f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），
∴令x=1，y=0，得2f（1）=2f（1）•f（0），又f（1）=

1

2

，
∴f（0）=1，
令x=y=1，則有f（2）+f（0）=2f（1）f（1），
∴f（2）=-

1

2

，
又f（x+3）=-f（x），則f（3）=-f（0）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=

1

2

+（-

1

2

）+（-1）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2013）=-1．
故選D．

點評：本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查了函數(shù)求值，對于抽象函數(shù)求值問題一般選用賦值法進行求解．此題解題的關(guān)鍵是通過所給的關(guān)系式求出函數(shù)的周期，利用周期轉(zhuǎn)化求值．屬于中檔題．