Question

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a（a為實(shí)數(shù)）
（I）若函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，求a的取值范圍；
（II）若f（x）在x=-1時(shí)有極值，證明對(duì)任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f(x1)-f(x2)|＜

5

16

恒成立．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象上有與x軸平行的切線，即導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)有實(shí)數(shù)解，再令方程的判別式大于或等于零即可得a的范圍；
（II）先由f′（-1）=0求出a值，令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于零，解不等式可得函數(shù)的減區(qū)間，然后求函數(shù)f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，當(dāng)這兩個(gè)值差的絕對(duì)值小于

5

16

，即可證得結(jié)論．

解答：解：∵f(x)=x3+ax2+

3

2

x+

3

2

a，∴f′(x)=3x2+2ax+

3

2

（I）∵函數(shù)f（x）的圖象有與x軸平行的切線，
∴f′（x）=0有實(shí)數(shù)解則△=4a2-4×3×

3

2

≥0，a2≥

9

2

，
所以a的取值范圍是(-∞，-

3

2

2

]∪[

3

2

2

，+∞)
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+

3

2

=0，a=

9

4

，
∴f′(x)=3x2+

9

2

x+

3

2

=3(x+

1

2

)(x+1)
由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-

1

2

；
由f′(x)＜0得-1＜x＜-

1

2

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-1)，(-

1

2

，+∞)；
單調(diào)減區(qū)間為(-1，-

1

2

)
∴f（x）的最大值為f(-1)=

25

8

，
f（x）的極小值為f(-

1

2

)=

49

16

，又f(0)=

27

8

∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=

27

8

，
最小值m=

49

16

∴對(duì)任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f(x1)-f(x2)|＜M-m=

27

8

-

49

16

=

5

16

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．