Question

在△AOB中，∠AOB=

3

4

π，點O到直線AB的距離為10，則邊AB的最小值為．

 

．

Answer 1

考點：解三角形

專題：解三角形

分析：作OD⊥AB于D，假設∠AOD=x，則∠BOD=

3π

4

-x，可求得AB=10[（tanx-1）+

2

tanx-1

+2]，利用基本不等式即可求得答案．

解答： 解：作OD⊥AB于D，假設∠AOD=x，則∠BOD=

3π

4

-x，因為OD=10，

所以AB=AD+BD=10tgx+10tg（

3π

4

-x）=10[tgx-tg（x+

π

4

）]
=10tan[x-（x+

π

4

）][1+tanxtan（x+

π

4

）]
=-10（1+tanx•

1+tanx

1-tanx

）
=-10×

1-tanx+tanx+tan2x

1-tanx

=-10×

(1-tanx)2+2tanx

1-tanx

=-10[（1-tanx）+

2

1-tanx

-2]
=10[（tanx-1）+

2

tanx-1

+2]，依題意，x＞

π

4

，tanx＞1，
所以，上式≥10×（2

2

+2）=20

2

+20，當且僅當tanx-1=

2

tanx-1

，
即tanx=

2

+1，x=arctan（

2

+1）時取“=”．
故邊AB的最小值為20

2

+20，
故答案為：20

2

+20．

點評：本題考查解三角形，考查兩角差的正切的應用，求得AB=10[（tanx-1）+

2

tanx-1

+2]是關(guān)鍵，突出考查轉(zhuǎn)化思想與基本不等式的應用，屬于難題．