Question

（2012•紅橋區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+sin²ωx的最小正周期為π，
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡，得到f（x）=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+

1

2

．再由三角函數(shù)的周期公式求出ω，然后求解f(

π

4

)的值．
（II）利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間公式，即可得到單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若x∈[0，

π

2

]時，求出相位的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到函數(shù)f（x）在上的最大值以及相應(yīng)的x值．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得
函數(shù)f（x）=sinωxcosωx+sin²ωx=

1

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

=

2

2

sin（2ωx-

π

4

）+

1

2

，
函數(shù)f（x）的最小正周期為π，

2π

2ω

=π，ω=1
f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

．
f(

π

4

)=

2

2

sin（2×

π

4

-

π

4

）+

1

2

=1．
（II）∵由-

π

2

 +2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得-

π

8

 +kπ≤x≤

3π

8

+kπ，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：[-

π

8

 +kπ，

3π

8

+kπ]，k∈Z．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

．
由x∈[0，

π

2

]，得-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

∴當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時，函數(shù)f（x）有最大值是

1

2

+

2

2

．

點評：本題給出三角函數(shù)表達式，求函數(shù)的周期與單調(diào)區(qū)間，并求閉區(qū)間上的最值．著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．