Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AA₁上有一動(dòng)點(diǎn)M，棱BD₁上有一動(dòng)點(diǎn)N，當(dāng)MN⊥AA₁時(shí)，棱長為a．問：線段MN的最小值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：線段MN的最小值為異面直線AA₁與BD₁的距離．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
A（a，0，0），A₁（a，0，a），B（a，a，0），D₁（0，0，a），

AA1

=(0，0，a)，

D1B

=(a，a，-a)，

AB

=(0，a，0)，
設(shè)

AA1

和

D1B

的公共法向量

n

=(x，y，z)，
∴

n • AA1 =az=0 n • D1B =ax+ay-az=0

，
取x=1，得

n

=(1，-1，0)，
∴異面直線AA₁與BD₁的距離d=

| AB • n |

| n |

=

2 a

2

．
∴線段MN的最小值為

2 a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．