Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-（m-2）x-2m
（1）當(dāng)m=4且x∈[2，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若m∈[1，3]時(shí)，f（x）≤0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)配方，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值．
（2）轉(zhuǎn)化主元，構(gòu)造一次函數(shù)，利用恒成立，列出不等式組求解即可．

解答 （本小題12分）
解：（1）當(dāng)m=4時(shí)，f（x）=x²-2x-8=（x-1）²-9
在x∈[2，3]上為增函數(shù)∴f（x）_min=f（2）=-8，f（x）_max=f（3）=-5
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-8，-5]
（2）t（m）=x²-（m-2）x-2m可看作關(guān)于m的一次函數(shù)
為使當(dāng)m∈[1，3]時(shí)，f（x）≤0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}t（1）={x^2}+x-2≤0\\ t（3）={x^2}-x-6≤0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}-2≤x≤1\\-2≤x≤3\end{array}\right.⇒-2≤x≤1$，
∴x的取值范圍為[-2，1]

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化主元的方法，考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．