12．已知等比數(shù)列{an}的前n項和${S_n}={2^n}-a$，則$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=（　　）
A．（2n-1）2B．$\frac{1}{3}（{2^n}-1）$C．4n-1D．$\frac{1}{3}（{4^n}-1）$

分析 利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的定義可得a，an，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵${S_n}={2^n}-a$，∴a1=2-a，a1+a2=4-a，a1+a2+a3=8-a，
解得a1=2-a，a2=2，a3=4，
∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，∴22=4（2-a），解得a=1．
∴公比q=2，an=2n-1，${a}_{n}^{2}$=22n-2=4n-1．
則$a_1^2+a_2^2+…+a_n^2$=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{1}{3}（{4}^{n}-1）$．
故選：D．

點評 本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

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