Question

6．如圖，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為是雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，則該雙曲線離心率e的取值范圍為[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．則四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．而|AF′|-|AF|=2a．|AF|=2csinα，|BF′|=2ccosα．可得e=$\frac{1}{cosα-sinα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}$，求出即可．

解答 解：如圖所示，
設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．
則四邊形AFBF′為矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
|AF′|-|AF|=2a．
|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα．
∴2ccosα-2csinα=2a．
∴e=$\frac{1}{cosα-sinα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（α+\frac{π}{4}）}$，
∵α∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{6}$]，
∴α+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴e∈[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]．
故答案為：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)、兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．