Question

11．設(shè)二次函數(shù)f（x）在[-1，4]上的最大值為12，且關(guān)于x的不等式f（x）＜0的解集為（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若$g（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]$，求函數(shù)h（x）=f（g（x））的值域；
（3）若對任意的實(shí)數(shù)x都有f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出函數(shù)的解析式f（x）=ax（x-5），且a＞0，由二次函數(shù)的最值的求法，得到方程解出即可；
（2）運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得$g（x）∈[-\frac{3}{2}，3]$，再由二次函數(shù)的值域求法，即可得到h（x）的值域；
（3）令t=1-cosx，則0≤t≤2，即有cosx=1-t，由題意可得4t²-10t＜（t-m）²-5（t-m）即有（m+t）（3t-m-5）＜0在0≤t≤2恒成立，代入0和2，解不等式組即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由f（x）＜0的解集為（0，5），
設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax（x-5），且a＞0，
再根據(jù)在區(qū)間[-1，4]上的最大值為f（-1）=6a=12，求得a=2，
可得f（x）=2x（x-5）=2x²-10x；
（2）$f（x）=2{（x-\frac{5}{2}）^2}-\frac{25}{2}$，
由$g（x）=3sin（2x+\frac{π}{6}），x∈[0，\frac{π}{2}]$，
可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，即有sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即有$g（x）∈[-\frac{3}{2}，3]$，
則g（x）=$\frac{5}{2}$時(shí)，f（g（x））取得最小值；g（x）=-$\frac{3}{2}$時(shí)，f（g（x））取得最大值．
即$f{（g（x））_{max}}=\frac{39}{2}$，$f{（g（x））_{min}}=-\frac{25}{2}$，
∴h（x）=f（g（x））的值域?yàn)?[-\frac{25}{2}，\frac{39}{2}]$；
（3）設(shè)t=1-cosx，則0≤t≤2，即有cosx=1-t，
∴f（2-2cosx）＜f（1-cosx-m），
即有f（2t）＜f（t-m），
即4t²-10t＜（t-m）²-5（t-m）
即有（m+t）（3t-m-5）＜0在0≤t≤2恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}m（-m-5）＜0\\（1-m）（2+m）＜0\end{array}\right.$，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m＞1或m＜-5}．

點(diǎn)評 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，求函數(shù)的值域，求參數(shù)的范圍，注意運(yùn)用待定系數(shù)法和換元法，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．