Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD=1，AB=2a（a＞0），E，F(xiàn)分別CD、PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAB；，
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求AC與平面AEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明：建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，利用向量垂直證出，，轉(zhuǎn)化成線線垂直，可證EF⊥平面PAB
（Ⅱ）先求出與平面AEF的法向量所成角的余弦值．再求AC與平面AEF所成角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz（如圖），
AD=1，PD=1，AB=2a（a＞0），
則E（a，0，0），C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），．得，，
由，得，即EF⊥AB
同理EF⊥PB，又AB∩PB=B
所以，EF⊥平面PAB
（Ⅱ）解：由，得，，．
有，，
設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，1），由，解得．于是
設(shè)AC與面AEF所成的角為θ，與n的夾角為．
則．
所以，AC與平面AEF所成角的大小的正弦值為
點(diǎn)評：本題考查線面位置關(guān)系的判定，線面角的求解．利用向量法減少思維量，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，利于建立空間之間坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)知識解決空間角與空間距離以及線面的位置關(guān)系等問題．