Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）聯(lián)立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標(biāo)，根據(jù)A坐標(biāo)設(shè)出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（2）設(shè)M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據(jù)兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．
解答：解：（1）聯(lián)立得：，
解得：，
∴圓心C（3，2）．
當(dāng)k=0時，y=3滿足題意；
當(dāng)k≠0時，設(shè)切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即=1，
解得：k=0（舍去）或k=-，
則所求切線為y=3或y+x-3=0；
（2）設(shè)點M（x，y），由MA=2MO，知：=2，
化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點M在圓C上，
∴圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
點評：此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關(guān)系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標(biāo)，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是一道綜合性較強的試題．