如圖所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M在AD1上移動(dòng),點(diǎn)N在BD上移動(dòng),D1M=DN=a(0<a<),連接MN.

(1)證明對(duì)任意a∈(0,),總有MN∥平面DCC1D1.

(2)當(dāng)a為何值時(shí),MN的長(zhǎng)最小?

 

(1)見(jiàn)解析 (2) 當(dāng)a=時(shí),MN的長(zhǎng)有最小值

【解析】(1)作MP∥AD,交DD1于P,作NQ∥BC,交DC于Q,連接PQ.

由題意得MP∥NQ,且MP=NQ,

則四邊形MNQP為平行四邊形.

∴MN∥PQ.

又PQ?平面DCC1D1,MN?平面DCC1D1,

∴MN∥平面DCC1D1.

(2)由(1)知四邊形MNQP為平行四邊形,

∴MN=PQ,

由已知D1M=DN=a,DD1=AD=DC=1,

∴AD1=BD=,

∴D1P∶1=a∶,DQ∶1=a∶,

即D1P=DQ=.

∴MN=PQ=

=

=(0<a<),

故當(dāng)a=時(shí),MN的長(zhǎng)有最小值.

即當(dāng)M,N分別移動(dòng)到AD1,BD的中點(diǎn)時(shí),MN的長(zhǎng)最小,此時(shí)MN的長(zhǎng)為.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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若函數(shù)f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿(mǎn)足f(1)=,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　)

(A)(-∞,2] (B)[2,+∞)

(C)[-2,+∞) (D)(-∞,-2]

 

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如圖,PA⊥正方形ABCD,下列結(jié)論中不正確的是(　　)

(A)PB⊥CB (B)PD⊥CD

(C)PD⊥BD (D)PA⊥BD

 

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如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.

求證:(1)BC1⊥AB1.

(2)BC1∥平面CA1D.

 

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直線l的方向向量為s=(-1,1,1),平面π的法向量為n=(2,x2+x,-x),若直線l∥平面π,則x的值為(　　)

(A)-2 (B)- (C) (D)±

 

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如圖所示,ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體,M,N分別是下底面的棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是上底面的棱AD上的一點(diǎn),AP=,過(guò)P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ=　　　　.

 

 

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下面四個(gè)正方體圖形中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,P分別為其所在棱的中點(diǎn),能得出AB∥平面MNP的圖形是(　　)

(A)①② (B)①④ (C)②③ (D)③④

 

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如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分別是AC,CC1的中點(diǎn).

(1)求證:AE⊥平面A1BD.

(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.

(3)求點(diǎn)B1到平面A1BD的距離.

 

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在坐標(biāo)平面xOy上,到點(diǎn)A(3,2,5),B(3,5,1)距離相等的點(diǎn)有(　　)

(A)1個(gè) (B)2個(gè) (C)不存在 (D)無(wú)數(shù)個(gè)

 

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