Question

13．已知圓${C_1}：{（{x-4}）^2}+{（{y-2}）^2}=20$與y軸交于O，A兩點，圓C₂過O，A兩點，且直線C₂O與圓C₁相切；
（1）求圓C₂的方程；
（2）若圓C₂上一動點M，直線MO與圓C₁的另一交點為N，在平面內(nèi)是否存在定點P使得PM=PN始終成立，若存在求出定點坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由（x-4）²+（y-2）²=20，令x=0，解得y=0或4．圓C₂過0，A兩點，可設(shè)圓C₂的圓心C₁（a，2）．直線C₂O的方程為：y=$\frac{1}{2}$x，即x-2y=0．利用直線C₂0與圓C₁相切的性質(zhì)即可得出．
（2）存在，且為P（3，4）．設(shè)直線OM的方程為：y=kx．代入圓C₂的方程可得：（1+k²）x²+（2-4k）x=0．可得M的坐標．同理可得N的坐標．設(shè)P（x，y），線段MN的中點E，利用k_PE•k=-1即可得出．

解答 解：（1）由（x-4）²+（y-2）²=20，令x=0，解得y=0或4．
∵圓C₂過O，A兩點，∴可設(shè)圓C₂的圓心C₁（a，2）．
直線C₂O的方程為：y=$\frac{1}{2}$x，即x-2y=0．
∵直線C₂O與圓C₁相切，∴$\frac{|a-4|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，解得a=-1，
∴圓C₂的方程為：（x+1）²+（y-2）²=$（\sqrt{5}）^{2}$，化為：x²+y²+2x-4y=0．
（2）存在，且為P（3，4）．
設(shè)直線OM的方程為：y=kx．
代入圓C₂的方程可得：（1+k²）x²+（2-4k）x=0．
x_M=$\frac{4k-2}{1+{k}^{2}}$，y_M=$\frac{4{k}^{2}-2k}{1+{k}^{2}}$．
代入圓C₁的方程可得：（1+k²）x²-（8+4k）x=0．
x_N=$\frac{8+4k}{1+{k}^{2}}$，y_N=$\frac{4{k}^{2}+8k}{1+{k}^{2}}$．
設(shè)P（x，y），線段MN的中點E$（\frac{4k+3}{1+{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}+3k}{1+{k}^{2}}）$．
則$\frac{\frac{4{k}^{2}+3k}{1+{k}^{2}}-y}{\frac{4k+3}{1+{k}^{2}}-x}$×k=-1，
化為：k（4-y）+（3-x）=0，
令4-y=3-x=0，解得x=3，y=4．
∴P（3，4）與k無關(guān)系．
∴在平面內(nèi)是存在定點P（3，4）使得PM=PN始終成立．

點評 本題考查了圓的標準方程及其應(yīng)用、直線與圓相交問題、垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．