Question

5．記函數(shù)f（x）=-2m+2msin（x+$\frac{3π}{2}$）-2cos²（x-$\frac{π}{2}$）+1，x∈[-$\frac{π}{2}$，0]的最小值為h（m）．
（1）求h（m）；
（2）若h（m）=$\frac{1}{2}$，求m及此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）把函數(shù)f（x）化成關(guān)于cosx的函數(shù)，利用換元法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，討論對稱軸的位置，求出函數(shù)f（x）的最小值h（m）；
（2）根據(jù)分段函數(shù)h（m）=$\frac{1}{2}$，求出對應(yīng)m的值，計算f（x）的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-2m+2msin（x+$\frac{3π}{2}$）-2cos²（x-$\frac{π}{2}$）+1
=-2m-2mcosx-2sin²x+1
=-2m-2mcosx-2（1-cos²x）+1
=2cos²x-2mcosx-2m-1，
又x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴cosx∈[0，1]，
令t=cosx，則0≤t≤1，
則函數(shù)f（t）=2t²-2mt-2m-1，且對稱軸為t=$\frac{m}{2}$；
當0≤$\frac{m}{2}$≤1，即0≤m≤2時，
f（t）_min=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{2}$-2m-1；
當$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2時，
f（t）_min=f（1）=-4m+1；
當$\frac{m}{2}$＜0，即m＜0時，
f（t）_min=f（0）=-2m-1；
綜上，f（x）的最小值是
h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-4m+1，m＞2}\\{-\frac{{m}^{2}}{2}-2m-1，0≤m≤2}\\{-2m-1，m＜0}\end{array}\right.$；
（2）若h（m）=$\frac{1}{2}$，則m＞2時，-4m+1=$\frac{1}{2}$，
解得m=$\frac{1}{8}$，不滿足條件，舍去；
0≤m≤2時，-$\frac{{m}^{2}}{2}$-2m-1=$\frac{1}{2}$，
解得m=-1或m=-3，不滿足條件，舍去；
m＜0時，-2m-1=$\frac{1}{2}$，解得m=-$\frac{3}{4}$；
綜上，m=-$\frac{3}{4}$；
此時f（t）=2t²+$\frac{3}{2}$t+$\frac{1}{2}$在t∈[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值是f（1）=2+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$=4．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的最值問題，一般的方法是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值，是綜合題．