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已知α∈(0，
π
2
)，且cos2α=
4
5
．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）若β∈(
π
2
，π)，且5sin（2α+β）=sinβ，求角β的大�。�
分析：（1）利用二倍角的余弦公式，直接求出sinα，cosα，即可求得sinα+cosα的值．
（2）根據α∈(0，
π
2
)，求出sin2α，利用兩角和的正弦函數展開5sin（2α+β）=sinβ，化簡可得tanβ=-1，即可求出角β的大小．
解答：解：（1）由cos2α=
4
5
，得1-2sin2α=
4
5
，
所以sin2α=
1
10
，又α∈(0，
π
2
)，
所以sinα=
10
10
．
因為cos2α=1-sin2α，
所以cos2α=1-
1
10
=
9
10
，
又α∈(0，
π
2
)，
所以cosα=
3
10
10
，
所以sinα+cosα=
10
10
+
3
10
10
=
2
10
5
．
（2）因為α∈(0，
π
2
)，
所以2α∈（0，π），
由已知cos2α=
4
5
，
所以sin2α=
1-cos22α
=
1-(
4
5
)2
=
3
5
，
由5sin（2α+β）=sinβ，得5（sin2αcosβ+cos2αsinβ）=sinβ，
所以5(
3
5
cosβ+
4
5
sinβ)=sinβ，即3cosβ=-3sinβ，
所以tanβ=-1，
因為β∈(
π
2
，π)，
所以β=
3π
4
．
點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡求值，兩角和的正弦函數，二倍角公式的應用，根據角的范圍，確定三角函數的值，是本題的難點，需要仔細體會解題方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

①已知tanα=1，α∈(0，
π
2
)，求
2cos2
α
2
-sinα-1
2
sin(
π
4
+α)
的值；
②已知θ∈(0，
π
2
)，且sin(
π
4
+θ)=
3
2
，求sin（
π
4
+2θ）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知α∈(0，
π
2
)，tan(π-α)=-
3
4
，則sinα=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知0≤θ＜2π，復數
i
cosθ+isinθ
＞0，則θ的值是（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知θ∈(0，
π
2
)，sinθ-cosθ=
2
2
，則cos2θ=
-
3
2
-
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知0≤x≤
π
2
，則函數y=cos（
π
12
-x）+cos（
5π
12
+x）的值域是
[-
2
2
，
6
2
]
[-
2
2
，
6
2
]
．

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