Question

14．有同學(xué)說(shuō)，定積分${∫}_{a}^$f（x）dx的值也可以這樣計(jì)算：
（1）分割：在[a，b]上插入n-1個(gè)點(diǎn)，a=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b，將[a，b]割成n個(gè)小區(qū)間：[x₀，x₁]，[x₁，x₂]，…[x_i-1，x_i]，…[x_n-1，x_n]，記第i個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為△x_i，△x_i=x_i-x_i-1（i=）1，2，…，n），記n個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度中最長(zhǎng)的為T(mén)，即T=max{△x₁，△x₂，…，△x_n}；
（2）近似代、求和．設(shè)ξ∈[x_i-1，x_i]，則${∫}_{a}^$f（x）dx≈$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i
（3）取極限：當(dāng)T無(wú)限減小趨向于零時(shí)，則$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i無(wú)限趨向于${∫}_{a}^$f（x）dx，即${∫}_{a}^$f（x）dx=$\underset{lim}{x→∞=1}$$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i
這樣就算正確嗎？為什么？

Answer 1

分析 利用定積分的定義即可判斷出．

解答 解：該同學(xué)給出的步驟滿足定積分的定義：分割、近似代、求和、取極限．
但是${∫}_{a}^$f（x）dx=$\underset{lim}{x→∞=1}$$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i，不正確，應(yīng)該為：${∫}_{a}^$f（x）dx=$\underset{lim}{T→0}$$\sum_{i=1}^{n}$f（ξ）△x_i
因此此由定積分的定義可知不正確．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的定義，考查了理解能力，屬于基礎(chǔ)題．