Question

6．已知P（m，n）是函授f（x）=e^x-1圖象上任一于點
（Ⅰ）若點P關于直線y=x-1的對稱點為Q（x，y），求Q點坐標滿足的函數關系式
（Ⅱ）已知點M（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0的距離d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，當點M在函數y=h（x）圖象上時，公式變?yōu)?\frac{|A{x}_{0}+Bh（{x}_{0}）+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$，請參考該公式求出函數ω（s，t）=|s-e^x-1-1|+|t-ln（t-1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．

Answer 1

分析 （1）采用代入法，即先設出Q（x，y）的坐標，然后用x，y表示出已知的點P的坐標，然后帶入到已知的解析式中即可．
（2）由已知的公式，將ω（s，t）表示出來，然后將問題轉化為函數的最值問題來解．

解答 解：（1）因為點P，Q關于直線y=x-1對稱，所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-n}{x-m}=-1}\\{\frac{y+n}{2}=\frac{x+m}{2}-1}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=y+1}\\{n=x-1}\end{array}\right.$．又n=e^m-1，所以x=1-e^（y+1）-1，即y=ln（x-1）．
（2）ω（s，t）=|s-e^x-1-1|+|t-ln（t-1）-1|
=$\sqrt{2}×（\frac{|s-{e}^{x-1}-1|}{\sqrt{2}}+\frac{|t-ln（t-1）-1|}{\sqrt{2}}）$，
令u（s）=$\frac{|s-{e}^{x-1}-1|}{\sqrt{2}}，v（t）=\frac{|t-ln（t-1）-1|}{\sqrt{2}}$．
則u（s），v（t）分別表示函數y=e^x-1，y=ln（t-1）圖象上點到直線x-y-1=0的距離．
由（1）知，u_min（s）=v_min（t）．
而f′（x）=e^x-1，令f′（s）=1得s=1，所以u_min（s）=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
故$ω（s，t）=\sqrt{2}×（\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}）=2$．

點評 本題一方面考查了點之間的軸對稱問題，同時利用函數式的幾何意義將問題轉化為點到直線的距離，然后再利用函數的思想求解．體現了解析幾何與函數思想的結合．