Question

正方形ABCD的頂點A，C在拋物線y²=4x上，一條對角線BD在直線y=-

1

2

x+2上．
（Ⅰ）求AC所在的直線方程；
（Ⅱ）求正方形ABCD的面積．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據正方形的性質可知AC⊥BD，進而可知AC斜率是2，設直線AC方程為y=2x+b，代入拋物線方程，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而求得y₁+y₂，則AC的中點坐標可得，代入直線x+2y-4=0中求得b，進而求得AC所在的直線方程；
（Ⅱ）求出x₁+x₂和x₁x₂的值，求得（x₁-x₂）²和（y₁-y₂）²，從而求得AC的長度，即可求正方形ABCD的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可知：AC⊥BD．
設AC所在的直線方程為y=2x+b，
代入拋物線方程得4x²+4bx+b²=4x，即4x²+（4b-4）x+b²=0
設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=1-b，
∵y=2x+b，
∴y₁+y₂=2x₁+b+2x₂+b=2（1-b）+2b=2，
∵AC中點（

1-b

2

，1）在BD上，
∴1=-

1

2

•

1-b

2

+2，
∴b=-3，
∴AC所在的直線方程為2x-y-3=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知4x²-16x+9=0，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=

9

4

，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=7，
（y₁-y₂）²=[2（x₁-x₂）]²=28，
∴AC=

7+28

=

35

，
∴正方形ABCD的面積為

1

2

×35=

35

2

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．弦長問題、最值問題、對稱問題等考查了學生綜合分析問題的能力．