Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f'（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0，故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值1．
（2） 令，則∴，得到
，利用等比數(shù)列求和公式和放縮法，可證明 ．
解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f'（x）＜0．∴函數(shù)f（x）=e^x-x在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，
在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值1．
（2）證明：由（1）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令（n∈N^*，k=1，2，，n-1），
則 ，∴．
即．∵，
∴．
∵，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，等比數(shù)列求和公式，用放縮法證明不等式，得到
是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．