Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為（β為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（1）求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)A在曲線C1上，點(diǎn)B在曲線C2上，且∠AOB，求|OA||OB|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）ρ＝4cosθ，ρ＝2cosθ．（2）4+2．

【解析】

（1）利用，消去參數(shù)化為普通方程，再將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)出的極坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)意義可得出，運(yùn)用三角恒等變換，化簡，即可求解.

（1）曲線C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），

消去參數(shù)α，可得直角坐標(biāo)方程：（x﹣2）2+y2＝4，

即x2+y2﹣4x＝0，把x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入可得極坐標(biāo)方程：

ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ．

曲線C2的參數(shù)方程為（β為參數(shù)），

消去參數(shù)β，可得直角坐標(biāo)方程：（x﹣1）2+y2＝1，

即x2+y2﹣2x＝0，把x2+y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入。

可得極坐標(biāo)方程：ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．

（2）若點(diǎn)A在曲線C1上，點(diǎn)B在曲線C2上，且∠AOB，

設(shè)

則ρB＝2cosθ，ρA＝4cos（θ）

則|OA||OB|＝2cosθ×4cos（θ）＝8cosθ（cosθ-sinθ）

＝4（cos2θ-sinθcosθ）＝4）

＝4+2．

∴時，|OA||OB|取得最大值4+2．