Question

已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為2x±3y=0,

（1）若雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)P（，2），求雙曲線(xiàn)方程；

（2）若雙曲線(xiàn)的焦距是2，求雙曲線(xiàn)方程；

（3）若雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)間的距離是6，求雙曲線(xiàn)方程.

Answer 1

（1）（2）=1或（3）=1或

解析:

方法一  （1）由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程y=±x及點(diǎn)P（，2）的位置可判斷出其焦點(diǎn)在y軸上，（a＞0,b＞0）

故可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為.

依題意可得

故所求雙曲線(xiàn)方程為.

(2)若焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為.

依題意

此時(shí)所求雙曲線(xiàn)方程為=1.

若焦點(diǎn)在y軸上，可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為.

依題意

此時(shí)所求雙曲線(xiàn)方程為.

故所求雙曲線(xiàn)方程為=1或.

（3）若焦點(diǎn)在x軸上，則a=3,且=.

∴a=3,b=2,雙曲線(xiàn)方程為=1.

若焦點(diǎn)在y軸上，則a=3,且=.

∴a=3,b=,雙曲線(xiàn)方程為.

故所求雙曲線(xiàn)方程為=1或.

方法二  由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程=0,

可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為(≠0).

(1)∵雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，2），

∴=,即=-,

故所求雙曲線(xiàn)方程為=1.

(2)若＞0，則a²=9,b²=4,c²=a²+b²=13.

由題設(shè)2c=2,則13=13,即=1.

此時(shí)，所求雙曲線(xiàn)方程為=1.

若＜0，則a²=-4,b²=-9,c²=a²+b²=-13.

由題設(shè)2c=2,得=-1.

此時(shí)，所求雙曲線(xiàn)方程為=-1.

故所求雙曲線(xiàn)方程為=1或=1.

（3）若＞0，則a²=9,由題設(shè)知2a=6.

∴=1，此時(shí)所求雙曲線(xiàn)方程為=1.

若＜0，則a²=-4,由題設(shè)知2a=6,知=-.

此時(shí)所求雙曲線(xiàn)方程為.

故所求雙曲線(xiàn)方程為=1或.