Question

6．動直線l與拋物線C：x²=4y相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}$，則${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$的最大值為（　�。�

• A． -16
• B． 8
• C． 16
• D． 24

Answer 1

分析 由題意可知G為AB的中點，于是${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$=-4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$），得出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$關(guān)于x₁x₂的函數(shù)，從而得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AG}$，∴G是AB的中點，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$），
∴${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$=（$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$）²-（$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$）²=-4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，
設(shè)A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$），
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$）²=（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$+2）²-4≥-4，
∴-4$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$≤16，即${（\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}）^2}-4{\overrightarrow{OG}^2}$的最大值為16．
故選C．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，拋物線的定義，屬于中檔題．