Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+3sin²θ）=4，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）極坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（ρ₁，θ₀），B（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上，求$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程能求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；曲線C₂的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出C₂的普通方程．
（Ⅱ）由已知得$ρ_1^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}$，$ρ_2^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}（{θ_0}+\frac{π}{2}）}}$，由此能求出$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

解答 （本小題滿分10分）
解：（Ⅰ）∵曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²（1+3sin²θ）=4，
∴ρ²+3ρ²sin²θ=4，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程${C_1}：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
∵曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}$（θ為參數(shù)）．
∴C₂的普通方程${C_2}：{（x-2）^2}+{y^2}=4$．（5分）
（Ⅱ）∵A（ρ₁，θ₀），B（ρ₂，θ₀+$\frac{π}{2}$）都在曲線C₁上，
∴$ρ_1^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}$，$ρ_2^2=\frac{4}{{1+3{{sin}^2}（{θ_0}+\frac{π}{2}）}}$，
$\frac{1}{ρ_1^2}=\frac{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}{4}$，$\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{1+3{{cos}^2}{θ_0}}}{4}$，
∴$\frac{1}{ρ_1^2}+\frac{1}{ρ_2^2}=\frac{{1+3{{sin}^2}{θ_0}}}{4}+\frac{{1+3{{cos}^2}{θ_0}}}{4}=\frac{5}{4}$．（10分）

點(diǎn)評 本題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．