Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2，C=

π

3

（1）若△ABC的面積等于

3

，求a，b；
（2）記

m

=（sin C+sin（B-A），2），

n

=（sin 2A，1），若

m

與

n

共線，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入題中數(shù)據(jù)化簡得a²+b²-ab=4；而△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

，化簡得ab=4，兩式聯(lián)解得a=b=2；
（2）由

m

與

n

共線，根據(jù)向量共線的充要條件和兩角和與差的正弦公式，化簡整理得sinB=2sinA，結(jié)合正弦定理得b=2a，再用余弦定理和c=2且C=

π

3

解出ab=

8

3

，利用正弦定理關(guān)于三角形面積的公式，即可求出△ABC的面積．

解答：解：（1）由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC
∵c=2，C=

π

3

，∴4=a²+b²-2abcos

π

3

化簡得a²+b²-ab=4------①
又∵△ABC的面積S=

1

2

absinC=

3

，
∴

1

2

ab×sin

π

3

=

3

，解之得ab=4------②
①②兩式聯(lián)解，得a=b=2；
（2）∵

m

=（sin C+sin（B-A），2），

n

=（sin 2A，1），且

m

與

n

共線，
∴[sin C+sin（B-A）]×1=2sin 2A------③
∵sin C=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
sin（B-A）=sinBcosA-cosBsinA
∴③式化簡為2sinBcosA=2sin2A，即sinBcosA=2sinAcosA
解之得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a
∵c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4
∴b=2a代入，得3a²=4，得ab=2a²=

8

3

根據(jù)正弦定理，得△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

×

8

3

×

3

2

=

2 3

3

點(diǎn)評：本題給出三角形ABC的邊c和角C的大小，在已知面積的情況下求a、b的邊長，并且在向量

m

與

n

共線的情況下求三角形的面積．著重考查了利用正余弦定理解三角形、三角恒等變換和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．